Data: 13.05.2025 (wtorek), godz. 11:30-13:00
Miejsce: B3-39
Prelegent: dr Jaroslaw Swaczyna
Abstrakt:
Ustalmy przestrzeń Banacha \(X\), ciąg \(e_n\) jej elementów oraz filtr \(F\) podzbiorów liczb naturalnych. Powiemy, że \(e_n\) jest \(F\)-bazą \(X\), jeżeli dla każdego \(x \in X\) istnieje dokładnie jeden taki ciąg skalarów \(\alpha_n\), że szereg \(\alpha_n e_n\) jest \(F\)-zbieżny do \(x\), tzn. dla każdego \(\varepsilon>0\) istnieje taki zbiór \(A\in F\), że dla każdego \(n \in A\)
\( ||\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i-x||<\varepsilon\)
(inaczej mówiąc, prawie wszystkie sumy częściowe rozważanego szeregu są \(\varepsilon\) bliskie \(x\)).
W takiej sytuacji w naturalny sposób definiujemy funkcjonały współrzędnych \(e^\star_n\). Około 10 lat temu Kadets zapytał, czy te funkcjonały muszą być ciągłe, przynajmniej dla odpowiednio dobrych filtrów (takich jak filtr statystyczny). Podczas referatu przedstawię odpowiedź na to pytanie, uzyskaną wspólnie z Tomaszem Kanią i Noem de Rancourt. Przedstawię również przykłady filtrowych baz Schaudera, w oparciu o wyniki uzyskane wspólnie z Adamem Kwelą.