Data: wtorek, 09.11.2021, godz. 13:00-15:00
Prelegent: prof. dr hab. Jerzy Kąkol (WMiI UAM)
Abstrakt:
W 1975 roku Reed (zob. [7], [4]) wyróżnił (pod nazwą \(\Delta\)-zbiorów) te nieprzeliczalne podzbiory \(D\) przestrzeni liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\) (z topologią naturalną), które mają następującą własność:
Dla każdego malejącego ciągu \((H_{n})_{n}\) zbiorów w \(D\) takich, że \(\bigcap_n H_{_n}=\emptyset\) istnieje ciąg \(G_{\delta}\)-zbiorów w \(D\) taki, że \(H_{n}\subset V_{n},\, n\in\mathbb{N}\), oraz \(\bigcap_{n}V_{n}=\emptyset \) .
Przymusiński pokazał [6], że istnienie \(\Delta\)-zbioru w \(\mathbb{R}\) jest równoważne istnieniu przeliczalnie parazwartej ośrodkowej przestrzeni Moora nie będącej normalną.
Badania wokół \(\Delta\)-zbiorów ściśle są związane z badaniami \(\mathbb{Q}\)-zbiorów (w sensie Hausdorffa), te ostatnie nadal stanowią fundamentalne wyzwania w teorii mnogości.
W pracy [2] pojęcie \(\Delta\)-zbioru zostało rozszerzone do dowolnej przestrzeni topologicznej \(X\):
Mówimy, że przestrzeń topologiczna \(X\) jest \(\Delta\)-przestrzenią jeżeli dla każdego malejącego ciągu \((H_{n})_{n}\) zbiorów w \(X\) takich, że \(\bigcap_n H_{_n}=\emptyset\) istnieje ciąg \((V_{n})_{n}\) otwartych zbiorów w \(X\) takich, że \(H_{n}\subset V_{n},\, n\in\mathbb{N}\), oraz \(\bigcap_{n}V_{n}=\emptyset \) .
Pojęcie to pozwoliło uzyskać charakteryzację tych przestrzeni \(C_{p}(X)\) (tj. przestrzeni funkcji ciągłych z topologią zbieżności punktowej określonych na przestrzeni Tichonowa \(X\)), które są wyróżnione (distingushed spaces). Ta ostatnia własność była intensywnie badana w klasie przestrzeni Frécheta, w szczególności przestrzeni Köthego \(\lambda_{p}(A)\).
W pracy [2] pokazuje się, że przestrzeń \(X\) jest \(\Delta\)-przestrzenią wtedy i tylko wtedy gdy \(C_{p}(X)\) jest wyróżniona. Ten analityczny opis pozwolił uzyskać szereg nowych wyników dotyczących \(\Delta\)-zbiorów i \(\Delta\)-przestrzeni [2], [3], [5]. Alternatywne spojrzenie na wyróżnione przestrzenie \(C_p(X)\) prezentowane było w [1].
Między innymi pokazano w pracy [2], że każda zupełna w senie \(\check{C}\)echa \(\Delta\)-przestrzeń jest rozproszona (scattered) i każda rozproszona zwarta przestrzeń Eberleina jest \(\Delta\)-przestrzenią; istnieją jednak rozproszone zwarte przestrzenie \(X\), które nie są \(\Delta\)-przestrzeniami, np. \([0,\omega_{1}]\). Każda metryzowalna rozproszona przestrzeń topologiczna jest \(\Delta\)-przestrzenią. Podamy zastosowania tych wyników do badania przestrzeni Banacha \(C(K)\) oraz przestrzeni \(C_{p}(K)\).
[1] J. C. Ferrando, S. A. Saxon, If not distinguished, is \(C_p(X)\) even close?, Proc. Amer. Math. Soc. 149 (2021) Volume 149, 2583-2596.
[2] J. Kąkol, A. Leiderman, A characterization of \(X\) for which spaces \(C_p(X)\) are distinguished and its applications, Proc Amer. Math. Soc. 8 (2021), 86-99.
[3] J. Kąkol, A. Leiderman, Basic properties of \(X\) for which spaces \(C_p(X)\) are distinguished, Proc. Amer. Math. Soc. 8 (2021), 257-280.
[4] R. W. Knight, \(\Delta\)-Sets, Trans. Amer. Math. Soc. 339 (1993), 45-60.
[5] A. Leiderman, V. V. Tkachuk, Pseudocompact \(\Delta\)-spaces are often scattered, Monatshefte für Math. 196 (2021).
[6] T. C. Przymusiński, Normality and separability of Moore spaces, Set-Theoretic Topology, Acad. Press, New York, 1977, 32-337.
[7] G. M. Reed, On normality and countable paracompactness, Fund. Math. 110 (1980), 145-152.
Miejsce: sala B3-39