Data: wtorek, 1.10.2024, godz. 10:00-11:30
Miejsce: B3-39
Prelegent: prof. dr hab. Jerzy Kąkol
Streszczenie: Dla przestrzeni Tichonowa X przez Cp(X) oznaczamy przestrzeń funkcji rzeczywistych ciągłych na X wyposażoną w topologię zbieżności punktowej. Przypomnijmy następujące dwie klasyczne charakteryzacje: Zwarta przestrzeń X jest rozproszona wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń Banacha C(X) jest przestrzenią Asplunda (Namioka-Phelps) wtedy i tylko wtedy, gdy \(C_p(X)\) jest przestrzenią Frecheta-Urysohna (Gerlits, Pytkkev). Prezentujemy inny wynik tego typu:
Twierdzenie: Nieskończona zwarta przestrzeń X jest rozproszona wtedy i tylko wtedy, gdy Cp(X) nie zawiera domkniętej sigma-zwartej nieskończenie wymiarowej podprzestrzeni wektorowej wtedy i tylko wtedy, gdy Cp(X) nie zawiera nieskończenie wymiarowej podprzestrzeni wektorowej z fundamentalnym ciągiem zbiorów ograniczonych wtedy i tylko wtedy, gdy każda podprzestrzeń wektorowa przestrzeni Cp(X) jest bornologiczna.
Jeśli X jest niezwarta rozproszona i niedyskretna, powyższe Twierdzenie nie pozostaje prawdziwym.
Wyniki te są również motywowane ważnym twierdzeniem Velichko stwierdzającym, że dla nieskończonej przestrzeni Tichonowa X przestrzeń Cp(X) nie jest sigma-zwarta. Podajemy i omówimy szereg przykładów ilustrujących te wyniki, obejmujących przestrzenie \(c_0, \ell_{\infty}\) oraz przestrzeń funkcji Lipschitza \(Lip_0(M)\) nad przestrzenią metryczną M z topologiami zbieżności punktowej.