Przestrzenie Schwartza w klasie ciągowych F-przestrzeni Musielaka-Orlicza

Data: 18.04.2023 (wtorek), godz. 10.00-11.30

Miejsce: B3-39

Prelegent: dr Halina Wiśniewska (Instytut Matematyki Uniwersytetu Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy)

Abstrakt:

Niech $X=(X,|\cdot |)$ oznacza przestrzeń Banacha z bazą $1$-bezwarunkową Schaudera $e_n$, oraz niech $\mathrm{\Phi }=({\phi }_n)$ oznacza ciąg subaddytywnych funkcji Orlicza takich, że  ${\phi }_n(1)=1$ dla $n=1,2,...$. Wówczas definiujemy $f$-przestrzeń $X(\mathrm{\Phi })$ wzorem:
$$X(\mathrm{\Phi })=(x_n)\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}:\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\phi }_n(|x_n|)e_n\in X$$
z $F$-normą $|\cdot {|}_{\mathrm{\Phi }}$ postaci $|(x_n)|=|\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\phi }_n(|x_n|)e_n{|}_X$.

Podane będą warunki na to, aby przestrzeń $X(\mathrm{\Phi })$ była przestrzenią Schwartza. Wynik ten oparty jest na ogólnym twierdzeniu S. Rolewicza z 1961 r.

W szczególności, dla $X={\ell }_1$ oraz $X=c_0$ przestrzenie $X(\mathrm{\Phi })$ są Schwartza dla funkcji ${\phi }_n$ postaci:

$(a)$ ${\phi }_n(t)=t^{p_n}$, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{p}_n=0$,
$(b)$ ${\phi }_n(t)=\frac{\ln (1+nt)}{\ln (1+n)}$.