Data: czwartek 19.11.2020, godz. 08:15-09:45
Prelegent: dr Sebastian Król (WMI UAM)
Abstrakt: Streszczenie. Niech \(a\) będzie półtoraliniową formą sektorialną na przestrzeni Hilberta \(V\), która jest w sposób ciągły i gęsty zanurzona w inną przestrzeń Hilberta \(H\). Forma \(a\) generuje sektorialny operator \(L\) na \(H\). Z punktu widzenia zastosowań naturalne jest pytanie postawione przez Tosio Kato w 1961 roku o to, kiedy dziedzina pierwiastka \(L^\frac{1}{2}\) operatora \(L\) równa się dziedzinie formy \(a\). Jeżeli ma to miejsce, wtedy o parze \((a, H)\) mówimy, że posiada własność Kato.
Celem referatu, jest przedstawienie charakteryzacji tej własności w terminach dwóch ograniczonych, samosprzężonych operatorów liniowych \(T\) i \(Q\) na \(V\), stowarzyszonych odpowiednio z formą \(a\) i przestrzenią \(H\). Charakteryzacja ta dostarcza ciekawe połączenie pomiędzy różnymi technikami i wynikami z teorii operatorów ograniczonych, analizy harmonicznej, teorii interpolacji, czy abstrakcyjnych równań ewolucyjnych.
Jako jeden ze wniosków tej charakteryzacji, pokażemy, że jeśli operator \(T\) należy do klasy Schattena \(S_1(V)\), to odpowiadająca mu forma \(a\) posiada własność Kato względem każdej przestrzeni Hilberta \(H\) zawierającej \(V\) w sposób gęsty i ciągły. Dodatkowo pokażemy, że wynik ten jest w pewnym sensie optymalny.